Quadrato magico apocalittico

Come promesso per raccogliere la sfida del professor Mauro Cerasoli incontrato al torneo di Popoli voglio scrivere un post dedicato al quadrato magico apocalittico.

Per chi non lo sapesse i quadrati magici sono quadrati formati da numeri interi dove la somma dei numeri su ogni riga e su ogni colonna e le due diagonali da sempre lo stesso risultato. http://it.wikipedia.org/wiki/Quadrato_magico

Di quadrati magici ne esistono moltissimi e costruirne uno non è affatto difficile, più difficile è trovare invece versioni più complesse del quadrato magico di base come ad esempio il quadrato magico apocalittico.

Questo quadrato oltre ad avere la somma di ogni riga ed ogni colonna pari al numero 666 (da questo il nome apocalittico) anche le diagonali e le semidiagonali. Per semidiagonale si intendono tutte quelle diagonali che
si ottengono dalla somma di diagonali spezzate  (per chi sa trovare il determinante di una matrice sa a cosa mi riferisco )  cioè diagonali che si ottengono dall'unione di due diagonali minori.

Il professor Cerasoli sosteneva che le soluzioni di questo quadrato apocalittico si riducessero ad una: un quadrato magico composto esclusivamente da numeri primi, io invece facevo giustamente notare che il problema poteva riformularsi come un insieme di 18 equazioni in 36 incognite e che quindi ammette infinite soluzioni.

Per rafforzare ulteriormente questa affermazione ho ridotto, grazie al metodo dell'eliminazione di Gauss, il sistema di equazioni a 16 vincoli fondamentali  che riporto nella seguente immagine:

(la riga che non si vede è x_61+x_62+x_63+x_64+x_65+x_66=666)
Questo dimostra chiaramente che si possono trovare infinite soluzioni. A noi però interessano quelle intere e positive, quindi ho dovuto utilizzare un programma specializzato nella risoluzione dei problemi di programmazione linare intera.

Grazie all'aiuto del programma GAMS, specializzato nella risoluzione di problemi LP , ho trovato oltre al quadrato apocalittico fondamentale (composto solo da numeri primi che è il primo in figura) altri tre quadrati apocalittici i cui componenti non sono necessariamente numeri primi.

questo dimostra che la soluzione non è unica.

Per chiarire il concetto di diagonale spezzata consideriamo il primo quadrato nella figura la diagonale principale è composta dai numeri 3-331-71-197-17-47, le diagonali spezzate al di sotto di essa sono 

• 7-53-97-59-139-311 
• 103-61-173-179-109-41
• 113-13-127-131-83-199
• 367-101-5-11-151-31
• 73-107-193-89-167-37

cioè diagonali che vengono completate con l'aiuto di diagonali nella stessa direzione ma posizionate più in alto .